위험을 나누는 수학

보험이라는 오래된 약속

보험은 보험회사보다 훨씬 오래되었다. 마을 사람들이 곡식이나 돈을 조금씩 모아 두었다가 누군가 상을 당하거나 집이 무너지면 그 몫을 내주는 일은 거의 모든 사회에 있었다. 한국의 계(契)와 두레, 상부상조의 약속이 그런 예다. 혼자서는 감당할 수 없는 일을 여럿이 나눠 감당하는 것, 이것이 보험의 뼈대다.

돈의 계약으로서 보험이 꼴을 갖춘 곳은 바다였다. 배 한 척이 가라앉으면 상인 한 사람이 망한다. 고대 지중해의 상인들은 폭풍 속에서 배를 살리려고 짐을 버렸을 때 그 손실을 모든 짐 주인이 나눠 지는 관습(공동해손)을 만들었고, 14세기 무렵 이탈리아 항구 도시에서는 돈을 받고 남의 배와 짐의 손실을 대신 떠안는 계약서가 나타났다. 17세기 런던에서는 상인들이 모이는 커피하우스에서 해상보험이 거래되었고, 1666년 대화재 뒤에는 화재보험 회사들이 생겼다. 비슷한 시기에 천문학자와 수학자들이 출생·사망 기록으로 생명표를 만들면서, 사람의 수명에 값을 매기는 생명보험의 수학이 시작되었다(3장).

이 역사에서 눈여겨볼 점은 두 가지다. 첫째, 보험은 처음부터 드물지만 한 번 일어나면 한 사람을 무너뜨리는 일을 위한 장치였다. 배의 침몰, 집의 화재, 가장의 죽음. 둘째, 보험이 커질수록 계약서와 수학이 복잡해졌다. 이웃끼리는 서로를 알지만, 모르는 사람끼리 위험을 나누려면 누가 얼마나 위험한지, 얼마를 걷어야 모자라지 않는지를 숫자로 정해야 하기 때문이다. 이 장은 그 숫자의 가장 밑바닥을 다룬다.

빈도와 심도, 위험을 다루는 네 가지 방법

보험은 위험을 다루는 여러 방법 가운데 하나일 뿐이다. 돈이나 건강을 잃을 수 있는 일을 위험(Risk)이라고 하면, 위험은 두 숫자로 잴 수 있다. 얼마나 자주 일어나는가를 빈도(Frequency), 한 번 일어나면 얼마나 큰가를 심도(Severity)라고 한다. 같은 '사고'라도 휴대폰 액정은 빈도가 높고 심도가 낮고, 운전 중 사람을 크게 다치게 하는 사고는 빈도가 낮고 심도가 매우 높다.

두 축으로 위험을 네 칸에 나누면 칸마다 알맞은 대응이 하나씩 정해진다.

• 회피(Avoidance): 위험한 행동 자체를 하지 않는다. 자주 일어나고 크기까지 큰 위험은 보험료가 손실만큼 비싸져서 보험으로 막을 수도 없다.
• 감소(Reduction): 빈도나 심도를 줄인다. 소화기를 두고, 건강검진을 받고, 자세를 고친다.
• 보유(Retention): 내 돈으로 감당한다. 비상금이 이 방법을 가능하게 한다. 스스로 작은 보험사가 되는 셈이라 자가보험(Self-insurance)이라고도 한다.
• 이전(Transfer): 돈을 내고 손실을 남에게 넘긴다. 보험이 대표적이고, 보증이나 계약 조항으로 넘기기도 한다.

지우와 민서도 도윤과 함께 자기 집의 위험을 적어 봤다. 아래 카드가 그 목록이다. 카드를 하나씩 끌어 알맞은 칸에 놓는다. 놓는 순간 도윤의 설명이 아래에 뜬다. 정답이 두 칸인 카드도 있다. 줄일 수 있는 만큼 줄이고 남는 것을 넘기는 식이다.

해 보면 보험으로 넘길 카드가 생각보다 적다. 가게나 온라인 결제 화면에서 가장 자주 권유받는 보장(휴대폰 파손, 가전 연장 보증)은 대부분 왼쪽 아래 칸이다. 반대로 진짜 오른쪽 아래 칸인 소득 중단, 배상책임, 가장의 사망은 스스로 찾아 사는 사람이 드물다. 이 어긋남이 14장에서 다룰 "보험은 사는 것이 아니라 팔리는 상품"이라는 말의 출발점이다.

대수의 법칙: 모이면 무엇이 달라지는가

전셋집에 사는 한 가구가 있다. 해마다 1% 확률로 불이나 누수로 1억원을 물어 줘야 하는 일이 생긴다고 하자. 이 가구의 1년은 둘 중 하나다. 99%의 해에는 0원, 1%의 해에는 1억원. 평균 손실은 1억원 × 1% = 100만원이지만 "100만원을 잃는 해"는 한 번도 오지 않는다. 0원 아니면 1억원이다.

같은 처지의 1만 가구가 모여 "누구 집에 사고가 나든 모두 똑같이 나눠 낸다"고 약속하면 이야기가 달라진다. 해마다 대략 100가구에 사고가 나고, 100억원을 1만 가구가 나누면 한 가구에 약 100만원이다. 어떤 해는 90가구, 어떤 해는 110가구겠지만 1인당 부담은 100만원 근처를 크게 벗어나지 않는다. 혼자서는 예측할 수 없던 손실이 모이면 예측할 수 있는 비용이 된다. 이것이 대수의 법칙(Law of large numbers)이다.

아래 마을에서 함께 나누는 가구 수를 1부터 10만까지 바꿔 본다. 위쪽은 올해 사고가 난 집(빨간색), 아래쪽은 해마다 한 가구가 낸 몫을 시간 순서대로 쌓은 막대다.

가구 수가 늘어도 평균은 그대로다. 바뀐 것은 흔들림이다. 한 가구 몫의 표준편차는 가구 수의 제곱근에 반비례해서 줄어든다.

이 책의 엔진(INS.pool)으로 계산하면 혼자일 때 흔들림은 약 995만원, 1만 가구면 약 10만원이다. 보험사가 한 사람에게 "1년에 100만원 남짓"이라는 확정된 값을 부를 수 있는 이유가 여기 있다. 보험료는 운이 아니라 평균을 기준으로 정해지고, 그 평균은 모인 사람이 많을수록 믿을 만해진다. 거꾸로 말하면 가입자가 적은 상품, 통계가 쌓이지 않은 새로운 위험은 보험료에 더 큰 여유를 붙일 수밖에 없다.

함께 터지는 위험은 왜 나눠지지 않는가

대수의 법칙에는 숨은 조건이 있다. 사고가 서로 따로따로 일어나야 한다. 우리 집에 불이 났다고 옆 동네 집에 불이 날 확률이 올라가지는 않는다. 그런데 태풍, 홍수, 지진, 전염병은 다르다. 한 집이 피해를 입는 해에는 수만 집이 함께 피해를 입는다. 이런 위험을 상관된 위험(Correlated risk)이라고 한다.

상관이 있으면 흔들림이 어디까지 줄어드는지 식으로 쓰면 이렇다. \(\rho\)는 두 가구의 사고가 얼마나 함께 움직이는지를 나타내는 상관계수다.

아래 그래프의 가로축은 가구 수(로그 눈금), 세로축은 한 가구 몫의 흔들림이다. 점선은 서로 독립인 경우, 실선은 지금 고른 상관계수다. 손잡이를 좌우로 끌어 가구 수를 바꾸면 그 자리에서 30년을 무작위로 돌린 결과가 점으로 찍힌다.

점선은 끝없이 내려가지만 실선은 어느 지점에서 평평해진다. 아주 작은 상관이라도 가입자가 충분히 많아지면 그것이 흔들림의 대부분을 차지하기 때문이다. 그래서 보험사는 함께 터지는 위험에 세 가지로 대응한다. 약관에서 전쟁·지진·전염병 같은 대형 재해를 보장하지 않는다고 정하거나(면책 조항), 지역과 상품을 넓게 섞어 상관을 낮추거나, 큰 손실의 일부를 다른 보험사(재보험(Reinsurance))나 국가에 다시 넘긴다. 풍수해처럼 민간이 혼자 감당하기 어려운 위험에는 정부가 보험료를 보조하는 정책보험이 따로 있다.

이것이 이 책이 묻는 "보험은 왜 이렇게 복잡한가"의 첫 번째 답이다. 약관의 긴 면책 목록은 보험사가 보험금을 아끼려고 넣은 것처럼 보이지만, 그 가운데 상당수는 나눌 수 없는 위험을 떼어 내서 나머지 위험의 보험료를 감당할 만하게 만드는 장치다. 물론 모든 면책 조항이 이 이유로만 있는 것은 아니다. 어떤 조항이 어떤 이유로 들어갔는지는 6장에서 하나씩 읽는다.

기대손실과 부가보험료

1만 가구에게서 1인당 100만원을 걷으면 평균적으로 보험금을 낼 수 있다. 하지만 '평균적으로'는 보험사에게 충분하지 않다. 앞의 마을에서 봤듯이 어떤 해는 기대보다 사고가 많다. 게다가 보험사는 계약을 모집하고, 관리하고, 청구를 심사하는 데 돈을 쓴다. 그래서 내가 내는 보험료(영업보험료(Gross premium))는 세 부분으로 나뉜다.

보험사 입장에서 마진은 얼마면 충분할까. 아래 시뮬레이터는 사고 확률 1%, 피해 1억원짜리 위험을 N명에게 파는 보험사의 1년이다. 막대는 한 사람 몫의 보험금이 해마다 어떻게 흩어지는지(분포), 초록 선은 보험료 가운데 보험금으로 쓸 수 있는 돈이다. 그 선을 넘는 빨간 영역이 보험사가 적자를 보는 해다. 가입자 수, 사업비율, 마진을 바꿔 본다.

여기서 세 가지를 봤다. 첫째, 보험료는 기대손실보다 반드시 크다. 마진이 없으면 보험사는 버틸 수 없고, 사업비가 없으면 아무도 팔고 관리하지 않는다. 둘째, 같은 마진이라도 가입자가 많을수록 안전하다. 규모가 곧 가격 경쟁력이다. 셋째, 가입자 입장에서 부가보험료는 돌려받지 못하는 돈이다. 보험 전체로 보면 가입자는 평균적으로 부가보험료만큼 손해를 본다.

시뮬레이터 안의 계산은 한 줄이다. 보험료 = \(pL(1+m)/(1-e)\), 여기서 \(m\)은 안전 마진, \(e\)는 보험료 가운데 사업비로 쓰는 비율이다. 그리고 부가율 = 보험료 ÷ 기대손실 − 1이다. 마진 5%, 사업비 15%면 부가율은 약 24%, 기대손실 100원을 넘기는 데 124원을 내는 셈이다.

평균적으로 손해인데 왜 사는가: 효용과 파산 회피

평균적으로 손해라면 합리적인 사람은 보험을 사지 말아야 할까. 그렇지 않다. 돈의 무게는 금액에 정비례하지 않기 때문이다. 예금 3억원이 있는 가구에게 1,000만원은 아쉬운 돈이지만, 예금 1,000만원이 전부인 가구에게 1,000만원은 바닥이다. 같은 금액이라도 잃을 때의 아픔은 가진 것이 적을수록 커진다.

경제학은 이것을 효용(Utility) 곡선으로 그린다. 자산이 늘수록 만족은 커지지만 커지는 폭은 점점 줄어드는, 위로 볼록한 곡선이다. 이 곡선 위에서는 평균이 같아도 흔들리는 쪽보다 확실한 쪽이 낫다. 그래서 사람은 기대손실보다 더 큰 돈을 내고라도 흔들림을 없애려 한다. 그 최대 금액 \(\pi^*\)는 이 식으로 구한다.

아래 그래프에서 자산과 사고 확률을 정하고, 곡선 위의 빨간 손잡이를 끌어 손실 크기를 바꾼다. 처음 값은 지우네 예금 3,000만원이다.

곡선이 말해 주는 것은 두 가지다. 첫째, 보험의 값은 손실이 내 자산에 비해 클 때 생긴다. 같은 2,700만원짜리 위험도 예금 3,000만원인 지우네에게는 보험이 맞고, 예금 2억원인 가구에게는 보유가 맞을 수 있다. 둘째, 손실이 나를 0원 근처로 떨어뜨릴 수 있으면 기대손실의 몇 배를 내서라도 피할 이유가 생긴다. 보험이 파는 것은 평균이 아니라 파산 회피다. 앞 절의 "평균적으로 손해"와 이 절의 "그래도 산다"는 서로 모순이 아니다. 부가보험료가 확실성의 값(π* − pL)보다 작으면 사는 것이 합리적이고, 크면 보유가 합리적이다.

보유 한도 정하기: 어디까지 버티고 어디부터 넘길까

지금까지의 이야기를 하나의 질문으로 줄이면 이렇다. 얼마짜리 손실까지는 내 돈으로 버티고, 얼마부터 보험으로 넘길 것인가. 이 경계선이 보유 한도(Retention limit)다. 보유 한도가 높을수록 보험료(부가보험료)를 아끼지만 운 나쁜 해에 내 돈이 크게 빠져나간다. 낮을수록 마음은 편하지만 작은 위험까지 부가보험료를 내게 된다.

보유 한도의 바탕은 비상금이다. 지우네의 예금 3,000만원은 둘의 월 생활비 360만원으로 나누면 약 8개월 치다. 이 돈이 지우네가 스스로 운영하는 작은 보험사의 '준비금'인 셈이다. 같은 생각이 보험 상품 안에서도 쓰인다. 실손보험의 자기부담금, 자동차보험 자차의 자기부담금처럼 손실의 첫 부분을 내가 내는 구조는 작은 손실을 보유하고 큰 손실만 넘기는 장치다(4장, 12장).

아래는 지우네 위험 열 가지를 한 줄에 늘어놓은 것이다. 가로축은 한 번의 손실 크기(로그 눈금), 점의 크기는 1년에 일어날 확률이다. 세로선을 좌우로 끌어 보유 한도를 정한다. 선 왼쪽의 위험은 비상금으로 버티고, 오른쪽은 보험으로 넘긴다. 아래 막대는 그 선택으로 1년에 드는 돈을 4만 번 무작위로 돌려 본 결과다.

선을 오른쪽으로 밀수록 평균 총비용(보험료 + 보유 손실)은 줄어든다. 부가보험료를 덜 내기 때문이다. 그런데 비상금보다 큰 위험을 보유로 넘기는 순간 그래프의 꼬리가 비상금 선을 뚫는다. 평균은 좋아졌지만 '한 번에 무너지는 해'가 생긴다. 앞 절의 효용 곡선이 말한 바로 그 지점이다. 좋은 보유 한도는 비상금으로 확실하게 버틸 수 있는 가장 큰 손실 근처에 있다. 지우네라면 수백만원짜리까지는 보유하고, 수천만원 이상은 이전하는 것이 이 모델의 답이다.

지우네의 위험 지도

도윤은 첫 만남에서 약속한 대로 상품 이야기를 꺼내지 않았다. 대신 지우와 민서에게 집에서 일어날 수 있는 나쁜 일을 모두 적어 오라고 했고, 이 장의 도구로 그 목록을 정리했다.